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已经看到的，我们的翻译都来自从“复原与还原（Restoration and Reduction）”到“完成与比较（pletion and parison）”
代数学是怎样做的呢？这个原理总是用方程来形象地说明：
X2…39＋8X=…2X
用一位历史人物的话说，这个方程象一根金线贯穿了从825年的 以后的四个世纪，现在已经经过了十二个世纪。首先“还原”它，把负项移到另一边，变成正的，就是：
X2＋8X＋2X=39
然后“简化”成为X2＋10X=39，即合并同类项。现在你可以象侏儒怪那样运用灵活机智来逼出未知数，告诉你它的解：这个例子中是3（…13也可以，如果允许负根值）。
唯一的问题是你需要不同的方法，在我们今天看来一点都不清楚明了。奥马尔•；凯亚姆有一种解决形式符合X2＋pX＝q类型方程的解法，另外一种是解X2＋q＝pX，第三种是pX＋q＝X2。面对这样详细而且分散的形式，会急切的等待统一。就像孩提时面对词形变化表。类型总要包含一个是否所属的判断，我们没有失望，它带来了一个重要的人物，虽然这在苏格兰，他把这些方程及跟它们类似的整个方程式家族等于零，从而用一种统一的方法来解。
这个人是约翰·纳皮尔（John Napier），爱丁堡附近的男爵。在16世纪晚期，当他的城堡没有被围攻，他没有击退攻击他们土地和邻居的袭击者时，他涉足了一些神秘的研究“可以水下航行的装置”，“圆形双火枪战车”；向鸽子施魔法，着手用巫术寻找埋藏的珠宝，在36个相近的有合乎逻辑的主张预示世界末日的代数学中，推断预言和历史之间的关系，得出结论，最后的审判将在1688与1700年间降临，他还发明了对数。据他的邻居传闻，在十七世纪早期，他是恶魔的一员，他的衣服全是黑色的，一个通体墨黑的公鸡是他一成不变的伙伴，很少理会这些传闻。
纳皮尔
但不管怎样，纳皮尔的魔法是特别狡猾的，或许是因为象圣·弗朗西斯·培根（Sir Francis Bacon）所指出的，历史使人明智，诗歌使人风趣，而数学使人精明。所以，当他的仆人被发现偷窃时，他把他们召集起来（象故事里讲的），告诉他们他的黑公鸡将发现窃贼。他把黑公鸡系在一个漆黑的房间里，每个仆人都要单独进去，拍公鸡一下再出来，这样他就抓到了窃贼，唯一一个手是干净的人，他太害怕而不敢碰被纳皮尔撒了烟灰的公鸡。
纳皮尔对待方程是有魔力的。他把有一些常数项的方程变成另外的形式，通过重复的代数学的传递把所有项都放在左边，仅留一个零在右边。这就是他所说的“等于一无所有。”这个技巧为什么这么重要？这取决于乍看之下不重要的东西：如果两个或更多个因数的积等于零，那么其中一项必须也等于零。转化成数学的语言一定有助于你思考。
如果ab＝0，那么a＝0，b＝0或者a，b都等于0。
但是你马上会指出，在他熟练变换之后，仍然没有因式的积的形式，而是一个有变量与系数的项的积的形式，还有一个常数——这个条件怎么应用呢？即使可以利用，有什么意义呢？
永远不要低估一个术士。如果你看到他把 的方程式变换到x2＋10x…39＝0的形式，就会领会纳皮尔的思想。我们可以把左边写成怎样的积的形式呢？如果有一点聪明的话，我们就会知道x2＋10x…39＝0等同于（x－3）（x＋13）＝0。但若（x－3）（x＋13）＝0。那分两个因素之一一定是零：所以或者是x－3＝0或x＋13＝0。你马上就可以得出x＝3或x＝…13。
这个方法适用于一切，当我们所求的x是一个实数。在每种情况下，一旦你发现因数相乘后得到“等于‘无’”。可以把每个因式依次置为0，从而读出满足方程的x的结果值。这就是为什么我们的大桥可以竖立至今，我们的火箭能够降落在设置的地方。
这给我们带来了巧妙的方法，从这种途径考虑使用零：运用物理守恒的原理，经过一系列变化，结果不便。纳皮尔怎么想出这样一个我们现在不屑一顾地想当然的方法呢？“我的祖先生活在荒诞和真理的分界上。”纳皮尔阁下在1857年说。或许想象力需要这样的昏暗背景，这样的试探性的突破才会欣欣向荣。
但是纳皮尔的理论仍有严重的问题“一旦你找到了因式”——是的，但是怎样找到他们？各个项的移动遵循怎样的原则呢？就像要求把一个太极高手的一招一式用电脑打印出来一样。有些关键的规则是有所帮助的，互换的技巧。但是试图对一个代数式分解因式，会认识到数学是一种冒险，
如果你想要更加接近地审视这些介于工艺与艺术之间的技巧，当你发现狡猾的零一次又一次扮演另外的伪装角色将不会觉得吃惊。透过一个椭圆的窗子展望，远处越来越狭窄，新的发现越来越稀少。在最令人注目的位置，是一个任何一个初学代数者都熟悉的问题：解答
x2－1＝0
如果你放两个圆括号，把项x放在前面：
（x ）（x ）＝0
在每一个后面放一个1，看上去很合情合理。但是
（x＋1）（x＋1）＝0
得到x2＋2x＋1＝0，多出了2x和有着错误符号的1。再试试（x－1）（x－1）＝0，得到x2－2x＋1＝0，只是错误的不同。很显然，既然唯一可以放在每个括号内的整数是1，你需要可以抵消掉中间项，解决方法就是有一个因式内有＋1，另一个因式内有－1，可以得到：
（x－1）（x＋1）＝x2－x＋x－1＝0，
－x＋x＝0，得到了想要的分解后的因式。
注意到这里的零，乔装为－x＋x，为了完成使命很快的出现，然后又消失了，它甚至不出现在可以使这个技巧高贵起来的名字里面。“两个平方的差”（在这个例子中， 两个平方是x2和1；1于12相同）。两个平方的差，r2－s2＝0。现在可以轻松的分解因式为（r－s）（r＋s）＝0。这种魔力一半的功劳要归于我们熟悉的形式。
现在不管你什么时候看到类似于x2－64＝0的式子，都可以分解为（x－8）（x＋8）＝0。甚至x4－64＝0也适于这种形式，你可以把x4看作（x2）2，所以x4－64＝0分解因式为（x2－8）（x2＋8）＝0
但是，如果很偶然地你想对象x4＋64＝0这样的代数式分解因式，得到什么呢？再拿出0，现在它的作用更令人咋舌，更加背离常规。由于x4＋64＝0看上去很难处理。试着仍然写出有x2的因式的框架（x2）（x2）＝0，但是接下来怎么办呢？你必须在空白处填上8才会得到64，但是没有多项式能够满足：
（x2＋8）（x2＋8）＝x4＋16x2＋64
（x2－8）（x2－8）＝x4－16x2＋64
（x2＋8）（x2－8）＝x4－64
我们的头撞上的是两个平方的和而不是两个平方的差：（x2）2＋（82）2
回想一下我们对x2－1＝0分解因式的过程，可以得到帮助。照我们先前的做法来做，我们以－x＋x的形式在x2和－1之间插入了0：即
x2－x＋x－1＝0
分解为（x－1）（x＋1）＝0。同样的，我们需要在x4和＋64之间插入0，现在特别之处是要加和减一个完全平方，希望这样可以得到两个平方的差，这样就可以分解因式了。这种技巧是它的无名发现者仅存的成果。但是使用哪个式子呢？另外的一个无名氏碰巧找到了幸运的多项式：16x2－16x2。如果把它插入x4＋64＝0，可以得到：
x4＋16x2－16x2＋64＝0
这看上去不是特别有用，除非凭经验重新排列多项式：
（x4＋16x2＋64）－16x2＝0
一分钟之前我们刚遇到过前面的式子，就是（x2＋8）（x2＋8），即完全平方式（x2＋8）2，而且
16x2＝（4x）2
x2＋8是r，4x是s，即r2－s2 ，因此因式分解为（r＋s）（r－s），
（x2＋8）2 －（4x）2 ＝0
分解因式为
（x2＋8＋4x）（x2＋8－4x）＝0
这就是为什么0允许我们分解因式
x4＋64=0
从我们的椭圆向窗口看下去，0消失了，轻轻的敲打出更难解决的表达式
x4＋x2＋1=0？
插入这样0�