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α不受根据单个先行者作的选择的影响，但是并非不受根据成对先行者的选择的影响，这个事实可用主观理论的观点表述如下。关于α中任何元素一个先行者性质的信息，对于这个元素的性质问题是无关的。另一方面，关于元素的成对先行者的性质的信息则是高度有关的；因为给定α据以建立的定律，它使我们能够预测所讨论的元素的性质：关于元素成对先行者性质的信息，可以说给我们提供演绎出预测所需的初始条件。（a据以建立的定律要求一对性质作为初始条件；因此就这些性质而言，它是“二维的”。详细说明一种性质仅是在成为复合时作为初始条件不充分时才是“无关的”。参阅第38节。）
我没有忘记因果性——原因和结果——概念与预测的演绎的关系是多么密切，同时我要利用下列术语。以前作出的关于二择一α的断言：“α不受根据单个先行者作的选择的影响”，我现在用下列说法来表示：“α不受单个先行者任何后效的约束”，或简言之，“α的自由度为1（1－free）”。不像以前那么说α“不受（或受）根据成对先行者所作的选择的影响”，我现在说：“a不受（或受）成对先行者后效的约束”，或简言之，“α的自由度是（不是）2”。
用自由度为1的二择一作为我们的原型，我们现在能够容易地建立也具有均等分布的其他序列，这些序列不仅不受一个先行者的后效约束，即（像α一样）自由度为1，而且还不受一对先行者后效的约束，即自由度为2；此后，我们可以继续达到自由度为3等等的序列。这样把我们引导到对下述是基本的一般概念。这就是不受直至某个数n的一切先行者后效约束的自由度概念；或者如我们将要说的，n…自白度概念。更精确地说，我们称一个序列“自由度为n”，当且仅当它的主要性质的相对频率是“n重无影响”，即不受根据单个先行者和根据成对先行者和根据三个一组的先行者……和根据n个一组先行者作的选择的影响。
自由度为1的二择一α可以用重复任何倍数的生成周期（generating period）。
（A）1100……
来建立。同样我们获得具有均等分布的自由度为2的二择一，如果我们把
（B）10111000……
作为它的生成周期，自由度为3的二择一从生成周期
（C）1011000011110100……
中获得，而自由度为4的二择一从生成周期
（D）01100011101010010000010111110011……
中获得。将会看到：面临一个不规则序列的直觉印象随它n自由度的数n的增长而越强烈。
具有均等分布的一个具n自由度的二择一的生成周期必须包含至少2n＋1个元素，作为例子给定的周期，当然可以开始于不同的位置；（C）例如可从它的第四个元素开始，于是我们获得的不是（C），而是
（C’）1000011110100101……
有使序列的n…自由度不变的其他变换。为每一个数目n建立n…自由度序列生成周期的方法则在别处描述。
如果我们把下一生成周期的最初的n个元素加在一个自由度为n的二择一上，于是我们得到一个长度为2＇n＋1＇＋n的序列。除了其他性质外，这个序列还有以下的性质：n＋1个0和1的每一种排列，即每一个可能的n＋1个组，至少在其中发生过一次。
56．节段序列 二项式的第一形式
给定一个有穷的序列α，我们称由n个连续元素组成的α的子系列为‘’α的n长度节段”；或更简单地说，“α的n…节段”。如果除了序列α以外，还给定某个定数n，那么我们能够把α的n…节段排列在一个序列中——α的n…节段序列。给定一个序列α，我们就可以从α的最初的n个元素的节段开始这种方式，建立一个新的序列，即α的n…节段序列。其次是α的2到n＋1的元素的节段。一般地说，我们把α的从x到x＋n－1的诸元素组成的节段看作新序列的第x个元素。如此获得的新序列可称为“α的交迭n…节段（overlapping n一segments）序列”。这个名称表示，新序列的任何两个连续元素（即节段）以这种方式交迭；使它们共有原先序列α的n－1元素。
现在我们通过选择可以从一个交迭节段的序列中，获得其他序列，尤其是毗邻n…节段（adjoining n…segments）的序列。
一个毗邻n…节段序列只含这样一些n…节段，它们在不交迭的α中，互相直接接续。例如开始也许是原先序列α的编号为1至n的元素的n…节段，续在后面的是n＋1至2n，2n＋1至3n如此等等的元素的n…节段。一般来说，一个毗邻节段的序列将以α的第k个元素开始，而它的节段将包含α的编号为直至n＋k－1，n＋k至2n＋k－1，2n＋k至3n＋k…1如此等等的元素。
下面将用“α（n）”示α的交迭n…节段的序列，用“αn”示毗邻n…节段序列。
现在让我们更详细一点考虑交迭节段α（n）的诸序列。这样一种节段的每一个元素是α的一个n－节段。我们可以把例如组成节段的n个一组的有序的0和1看作是α（n）一个元素的主要性质。或者我们可以更为简单地把它的1的数目看作是这个元素（不管1和0的次序）的主要性质。如果我们用“m”表示1的数目，则显然m≤n。
现在我们又从每一个序列α（n）得到一个二择一。如果我们选择一个特定的m（m≤n），并将性质“m”赋予序列α（n）的正好有m个1（所以有n－m个0）的每一个元素，并且把性质“”（非m）赋予α（n）的所有其他元素的话。因此α（n）的每一个元素必定有这两个性质中的一个或另一个。
现在让我们再次设想，给定一个具有主要性质“1”和“0”的一个有穷二择一。设1的频率αF”（1）等于p，0的频率αF”（0）等于q。（我们设分布是不均等的，即p≠q。）
现在让这个二择一α至少有n－1个自由度（n是任意挑选的自然数）。于是我们可向下列的问题：性质m在序列α（n）中出现的频率是多少？换言之，α（n）F”（m）的值是多少？
除了α至少有n－1个自由度外，我们什么也不假定，我们就能用初等算术解决这个问题。答案包含在下列公式中：
（1）α（n）F”（m）＝“二项”式（1）的右边是由Newton在论述有关别的问题时提出的（有时称为Newton公式）。我将称它为“二项式的第一形式”。
由于推导出了这个公式我就不再在有穷参考类内考察频率理论。这个公式将提供给我们一个基础来讨论随机公理。
57 无穷序列 频率的假说性估计
把为n－自由度有穷序列获得的结果推广到用生成周期（参阅第55节）定义的n－自由度无穷序列是十分容易的。起着参考类（我们的相对频率与此有关）作用的一个无穷的元素序列可称为“参考序列”。它多少与von Mises意义上的“集合”相对应。
n－自由度的概念以相对频率的概念为前提；因为n－自由度的定义要求不受影响——不受根据一定的先行者所作的选择的影响——的是一种性质在其中发生的相对频率。在我们讨论有穷序列的定理中，我将暂时使用（直到第64节）相对频率极限值（用F’表示）概念代替有穷类的相对频率（F”）。只要我们把自己限于根据某个数学规则建立的参考序列，这个概念的使用就不会发生问题。对于这些序列我们总可以确定相应的相对频率序列是否是收敛的。相对频率极限值概念只是在没有数学规则只有经验规则（与例如钱卜序列有关的）的序列的情况下才会引起麻烦；因为在这些情况下，极限值概念是未定义的（参阅第51节）。
建立序列的数学规则的一个例子如下：“序列α的第n个元素应该是0，当且仅当n可被4除”。它定义的无穷二择一是
（α）11101110……
其相对频率的极限值αF’（1）＝3／4；αF’（0）＝1／4。借助数学规则用这种方法定义的序列我简称为“数学序列”。
与之相对照，建立经验序列的规则是例如“序列α的第n个元素将是0，当且仅当硬币c的第n次掷猜出现反面时”。但是经验规则不一定总是定义随机性质的序列。例如，我应该把下列规则称为经验规则：“序列的第n个元素将是1，当且仅当第n秒（从某个零时算起）时，发现摆p