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爱因斯坦则坚持，从分离的那一刻起，A和B的状态就都是确定了的。
我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分
别到来（比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向）。在某个按照宇宙标准时间所约
好了的关键时刻（比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵），两
人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保
持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上
测量到A的自旋为正（＋），那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负（…）
！
换句话说，A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样，当
A是＋的时候B必定是…，它们的合作率是100％！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说
，（A＋，B…）的相关性（correlation）是100％，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概
念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是…，那么相
关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是＋，
那么（A＋，B…）的相关率就达到最小值…1。当然这时候从另一个角度看，（A＋，B＋）的相
关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全随机，那么
B就和A并不相关，相关性是0。
在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同
一个方向上要么是（A＋，B…），要么是（A…，B＋），相关性是1。但是，这是在同一方向上
，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结果
的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。
实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设
为x，y，z。它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的
方向无非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能（把每个方向想像成一根
爻，那么组合结果无非是8个卦）。
x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ …
＋ … ＋
＋ … …
… ＋ ＋
… ＋ …
… … ＋
… … …
对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦
观测了A，B也就确定了。如果A是（＋，＋，…），那么因为要守恒，B一定是（…，…，＋）。
现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测，
只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是H
，它可以取值1…8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能性
，其出现的概率分别是N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表
：
Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率
＋ ＋ ＋ … … … N1
＋ ＋ … … … ＋ N2
＋ … ＋ … ＋ … N3
＋ … … … ＋ ＋ N4
… ＋ ＋ ＋ … … N5
… ＋ … ＋ … ＋ N6
… … ＋ ＋ ＋ … N7
… … … ＋ ＋ ＋ N8
上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三
个方向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为…，这种结果出现的
可能性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解
吧？
现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方
向，在这个方向上，（Ax＋，Bx…）的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合
两种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为…，或者A不为＋而B也同时不为…，如果这样
，它便符合我们的要求，标志着对（Ax＋，Bx…）的合作态度，于是我们就加上相应的概率
。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为…而B也为…，这是对（Ax＋，Bx…）组合的
一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。
从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为…，后4种可能都是Ax不为＋而Bx
也不为…，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所
以（Ax＋，Bx…）的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我
们要计算（Ax＋，Bx＋）的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是…N1…
N2………N8＝…1。
接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的
相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax
为＋以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去
。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示：
Pxy＝…N1…N2＋N3＋N4＋N5＋N6…N7…N8
嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关：
Pxz＝…N1＋N2…N3＋N4＋N5…N6＋N7…N8
再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋：
Pzy＝…N1＋N2＋N3…N4…N5＋N6＋N7…N8
好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值：
｜Pxz…Pzy｜＝｜…2N3＋2N4＋2N5…2N6｜＝2 ｜N3＋N4…N5…N6｜
这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，
我们有关系式｜x…y｜≤｜x｜＋｜y｜，所以套用到上面的式子里，我们有：
｜Pxz…Pzy｜＝2 ｜N3＋N4…N5…N6｜≤2（｜N3＋N4｜＋｜N5＋N6｜）
因为所有的概率都不为负数，所以2（｜N3＋N4｜＋｜N5＋N6｜）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最
后，我们还记得N1＋N2＋。。。＋N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：
2（N3＋N4＋N5＋N6）＝1＋（…N1…N2＋N3＋N4＋N5＋N6…N7…N8）
看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果
：
｜Pxz…Pzy｜≤1＋Pxy
恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，
就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这
个宇宙的终极命运作出最后的判决。
（我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一
个连续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的
可以动手一试。）
第十一章 上帝的判决一
castor_v_pollux
一
｜Pxz…Pzy｜≤1＋Pxy
嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对于我们
宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？
我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，Pxy
代表了A粒子在x方向上为＋，而同时B粒子在y方向上亦为＋这两个事件的相关性。相关性
是一种合作程度的体现（不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高）
，而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们
对于两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终存在于客观现实之内，
它们的状态从分裂的一霎那起就都是确定无疑的。假如我们禁止宇宙中有超越光速的信号
传播，那么理论上当我们同时观察两个粒子的时候，它们之间无法交换任何信息，它们所
能达到的最大协作程度仅仅限于经典世界所给出的极限。这个极限，也就是我们用经典方
法推导出来的贝尔不等式。
如果世界的本质是经典的，具体地说，如果我们的世界同时满足：1。定域的，也就是
没有超光速信号的传播。2。实在