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当人们审问一个犯人时，人们总是把他的口供记录下来，以便从口供的前后一致来判断口供的真实性。但是这不过是一个不得已的措施；如果人们能够直接研究每一句口供的真实性，那就不会这样做了，因为这个犯人还可从头至尾自圆其说地撤谎。可是＇单凭口供的前后一致，＇ 这就是欧几里德按以研究空间的方法。他虽是从＇下面＇ 这个正确的前提出发的，即是说大自然既无处不是一致的，那么在它的基本形式中，在空间中也必须是一致的；并且由于空间的各部分既在互为根据与后果的关系中，所以没有一个空间的规定能够在它原来的样儿之外又是另外一个样儿而不和其他一切的规定相矛盾。但是这是一条繁重的，难以令人满意的弯路，这条弯路以为间接的认识比同样真确的直接认识更为可取；它又割裂了“有此事物”与“何以有此事物”的认识而大不利于科学。最后它还完全遮断了初学者对于空间规律的理解，甚至于不使他习惯于真正的探求根据，探求事物的内部联系；却反而诱导他以“事物是如此”这种历史往的知识为己足。人们经常称道这种方法可以锻炼辨别力，其实不过是学生们为了记住所有那些资料要在记忆上多费劲而已，＇因为＇ 这些资料间的一致性是要加以比较的。
此外还有值得注意的是这种求证方法只用在几何学上而不用在算术上。在算术中，人们倒真是只用直观来阐明真理，而直观在这里就是单纯的计数。因为数的直观只在时间中，所以不能和几何学一样用感性的图形来表出，这就去掉了一个顾虑，＇不必顾虑＇ 直观只是经验的，从而难免为假象所惑了。原来能够把逻辑的求证方式带进几何学里来的也只是这一顾虑。因为时间只有一进向，所以计数是唯一的算术运算，。其他一切运算都要还原到这一运算。这计数并不是别的，而是先验的直观。人们在这里可以毫不犹豫地援用这直观；只是由于这直观，其他一切，每一演算，每一等式最后才得以证实。譬如人们并不去证明，而是援用时间中的纯粹直观，援用计数，这就把每一个别的命题都变成公理了。因此算术和代数的全部内容不是充满了几何学的那些证明，而只是简化计数的一种方法罢了。我们在时间上所得到的数的直观，已如前述，大抵只到“十”为止，不能再多；过此以上就必需有一个“数”的抽象概念，固定于一个词儿中的概念，起而代替直观。因此就再没有真正完满地作到这直观，而不过是完全确切地加以标明罢了。就以这种情况说，由于数的自然秩序这个重要辅助工具，还是可以用同样的小数字来代替较大的数字＇而价值不变＇，依然可以使任何一个演算都有直观的明显性。甚至于在人们高度利用抽象作用时也是这样；在抽象中思维的不仅是数，而且有不定的量或整个演算过程，这些都可在这种意义之下用符号标记出来，譬如；这样，人们就不再进行演算，只仅仅示意而已。
和在算术中一样，人们也可以在几何学中以同样的权利，用同样的妥当性仅仅只以先验的纯粹直观作为真理的根据。事实上，赋予几何学以较大自明性的也总是这按存在根据律而直观地认识到的必然性。几何学的定理在每人意识中的真确性就是建立在这种自明的根据上的，而决不是建立在矫揉造作的逻辑证明上的。逻辑证明总是于事太疏远，大多是不久就被遗忘了；不过遗忘了也并无损于＇人的＇ 确信。就是完全没有逻辑证明也不会减少几何学的自明之理，这是因为几何学的自明本无待于逻辑的证明，逻辑的证明总不过是证明着人们原已从别的认识方式完全确信了的东西。这就等于一个胆小的士兵在别人击毙的敌人身上戳上一刀，便大吹大擂是他杀了敌人。
有了上述这一切，可望人们以后再不会怀疑数学上的自明之理既已成为一切自明之理的模范和象征，在本质上并不是建立在证明上的而是建立在直接的直观上的。在这里如此，在任何地方也是如此，直观总是一切真理的源泉和最后根据。并且数学所根据的直观和任何其他的直观，亦即和经验的直观相比，有着一个很大的优点；即是说数学所依据的直观是先验的，从而是不依赖于经验的；经验是一部分一部分，依次获得的，对于先验的直观，＇无分先后远近＇则一切同时俱在，人们可以任便从根据出发或从后果出 发。这就给数学所本的先验直观带来了一种充分的、无误的正确性，因为在这直观中是从原因识取后果的，而这就是唯一有必然性的认识。例如说一个三角形中的三边相等被认为是基于角的相等。与此相反，一切经验的直观和大部分经验却只是反过来从后果认原因的，这种认识方法就不能说没有错误，因为只有在已有了原因之后，后果才说得上有必然性；而从后果认取原因就不能有这种必然性，因为同一后果可能是从不同的原因产生的。后面这种认识方法永远只是归纳法，即是从多数的后果指向一个原因而假定这原因是正确的。但是个别的情况既决不可能尽集于一处，所以这样的真理也决不是绝对可靠的。然而一切感性直观的认识和绝大部分的经验就都只有这样的真理。官能有所感受便促起悟性作出一个从后果到原因的论断，但是从原因所产生的＇后果＇上溯原因的推论是决不可靠的，所以作为感性迷误的假象就有可能了；并且如前所述，也经常出现。只有几种或所有五种官能都有指向同一原因的感受，假象的可能性才减低到最小限度，但并不是就完全没有了。因为在某些场合，例如使用伪造的钱币，人们就骗过了所有的感官。一切经验的认识，从而全部自然科学，如不计其纯粹的（即康德所谓形而上的）部分，也同在上述情况中。在这里也是从后果认原因，所以有关自然的一切学说都是建立在假设上的。假设又往往是错误的，错误的假设只有逐渐让位于比较正确的假设。只有在有意举行的实验中，认识过程是从原因到后果的，也就是走的那条可靠的路；可是这些实验本身又是按假设而进行的。所以没有一种自然科学的分支，如物理学、天文学，或生理学，能够象数学或逻辑一样，可以是一次被发现的，而是曾经 需要，现在还需要许多世纪所搜集的，经过比较的经验。只有经过多次经验的证实，才能使假设所依据的归纳法有那么近于完备的程度，以至这种完备的程度在实践上就可以代替准确性。于是，人们也不大以为这种完备程度的来源对于假设有什么不利，正如人们不大以为直线和曲线的不能通约对于几何学的应用有什么不利，不以为“对数”永远达不到完全的精确性对于算术有什么不利一样。原来如同人们＇可以＇ 以无穷的分数使圆无限的接近于方，使对数无限地接近精确一样，同样，人们也＇可以＇以多次的经验使归纳法——亦即从后果认原因的知识——虽不是无限的，却能那么接近于数学的自明性——亦即从原因到后果的知识———以致误差的可能性小到了可以被忽略的程度。不过误差的可能性尽管小，总还是存在的；