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算术》时就指出，开方不尽时，可用十进制分数（小数）来表示，比西方早
1300 年。元朝刘瑾（1300 年左右）著《律吕成书》中记 106368．6312 为：
把小数部分降低一格，可以说是世界上最早的小数表示法。
中国之外第一个应用小数的是阿拉伯人卡西，他用十进分数（小数）给
出了π的 17 位有效数值。
在欧洲，比利时人斯蒂文于 1585 年第一次明确地阐述了小数的理论，他
把 32．57 记为
① ②
3 2 5 7 或 32 5①7②
1492 年法国人佩洛斯出版的算术书中首次应用了小数点“．”，但他的
意思是做除法时，如果除数是 10 的倍数，例如，12356÷600，先将末两位用
点分开然后除以 6，即 123．56÷6，仅仅为了做除法时的方便。
直到 1608 年意大利人克拉乌斯出版的代数书中才明确地以小点“．”作
为整数部分和小数部分的分界，即现代用法。
同时也有人用“，”来作小数点的记号。直到 19 世纪末，小数点还有种
种写法，如 2．5 可写为 2 5；2．5；2·5；2△5 等。
现代小数点的使用大体分为两大派，欧洲大陆派（德国、法国、苏联等）
用逗号作小数点，圆点“·”用作乘法记号，面不用“×”号，因它易与“x”
相混。英美派小数点用圆点“．”，逗号用来作分节号（每三位分为一节）。
如一亿五千万，记作 150，000，00，而大陆派则写作 150 000 000，不用分
节号而每三位数空一格。
无论是东方还是西方，人们对小数的认识，都经历了几百年甚至上千年
的演变。
负数的引入
今天人们都能用正负数来表示两种相反意义的量。例如若以冰点的温度
表示 0℃，则开水的温度为＋100℃，而零下 10℃则记为…10℃。若以海平面为
0 点，则珠穆朗玛峰的高度约为＋8848 米，最深的马里亚纳海沟深约…11034
米。在日常生活中，人们常用“＋”表示收入，用“…”表示支出。可是在历
史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。
古人在实践活动中遇到了一些问题：如两人相互借用东西，对借出方和
借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反
方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同。久而久之，
古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符
号。因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产
生了负数。
我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用
负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不
足钱”是负。刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时
还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。”
这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是
“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
印度在公元 7 世纪才采用负数，公元 628 年，印度的《婆罗摩修正体系》
一书中，把负数解释为负债和损失。在西方，直到 1484 年，法国的舒开才给
出了二次方程的一个负根。1544 年，德国的史提菲把负数定义为比任何数都
小的数。1545 年，意大利的卡当著《大法》，成为欧洲第一部论述负数的著
作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中，但却迟迟得不到学术界的承认，
直到 17 世纪，数学、力学、天文学获得广泛发展，使用负数可以大大简化计
算，所以负数才正式进入了数学。特别是 1637 年，法国数学家笛卡尔发明了
解析几何学，建立了坐标点，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起
来，使负数得到了解释，从而加速了人们对负数的承认。但直到 19 世纪，德
国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后，负数才在现代数学
中获得巩固的地位。
无理数的风波
无限不循环小数叫无理数。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。
公元前 6 世纪，古希腊有个毕达哥拉斯学派——一个宗教、科学和哲学
性质的帮会，在数学研究上有很大成绩，以勾股定理、无理数的研究最为著
名。毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之
比。毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，
或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃
惊。他们证明了这个数不是整数，绞尽脑汁也找不到这个分数，所以希伯索
斯等人阐述了这个发现。因其理论违背毕氏学派的信条而引起同伴们的狂
怒，竟被抛入大海。另有传说，毕氏学派规定，每当有新的发现发明，都要
保守秘密，不得外传，否则要受到严厉制裁。他们发现无理数后，视无理数
为一种不能言说的记号。有一门徒泄露了这一发现，便遭到覆舟毙命的惩罚。
然而真理是封不住的，不管毕氏门徒如何反对，无理数终于闯入了数的圣地，
使数的概念又扩展了一步。无理数是稠密的，任何两个有理数之间，不管它
们多么接近，都存在着无限多个无理数。
真实的虚数
“虚数”这个名词，使人觉得挺玄乎，好像有点“虚”，实际上它的内
容却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开方，如果被开
方数是正数，就可以算出要求的根；但如果被开方数是负数，那怎么办呢？
比如，方程x2 ＋1= 0，x2 = …1，x= ± 1。那么 1有没有意义呢？很
早以前，大多数人都认为负数是没有平方根的。到了 16 世纪，意大利数学家
～
卡当在其著作《大法》（1545年）中，把 15记为R· m·15，这是最早
的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637 年法国数学家笛卡
尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1777年，欧拉在一篇论文中首次用“i”来表示 1，但以后很少有人注意它。
直到 19 世纪初，高斯系统地使用了这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示
a＋bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活
中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种
种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认
为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”
欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如
1、 2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a＋bi）用平面上的点来
表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复
数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在
水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内
容。真是：虚数不虚！
虚数的发展说明了：许多数学概念的产生并不直接来自实践，而是来自
思维，但只有在实际生活中有了用处时，这些概念才能被接受而获得发展。
π的“马拉松计算”
圆的周长同直径的比值，一般用π来表示，人们称之为圆周率。在数学
史上，许多数学家都力图找出它的精确值。约从公元前 2 世纪，一直到今天，
人们发现它仍然是一个无限不循环的小数。因此，人们称它为科学史上的“马
拉松”。
关于π的值，最早见于中国古书《周髀算经》的“周三经一”的记载。
东汉张衡取π=3。1466（又取π= 10）。第一个用正确方法计算π值的，要算
我国魏晋之际的杰出数学家刘徽，他创立了割圆术，用圆内接正多边形的边
数无限增加时，其面积接近于圆面积的方法，一直算到正 192 边形，算得π
3927
=3。14124，又继续求得圆内接正3072边形时，得出更精确的π= =3。1416，
1250
割圆术为圆周率的研究，奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分
重要的地位。
随后，我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法，一直算到圆内接正
22
24576边形，求出3。1415926＜π＜3。1215927，