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ｐｒ，ＣｐｑｒＣｑｒ以及ＣＣＮｐｒＣＣｑｒＣCＣｐｑｒ）的系统。
根据定理（ＴＡ）
，每一个有意义的亚里士多德逻辑的表达式，能够化归为初等表达式，这个定理的证明隐含地包括在
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８６１第五章 判定问题
对于演绎理论的类似定理的证明之中。
如果我们把用于变形Ⅰ—Ⅶ中之希腊字母（除了在变形Ⅰ中最后的那个变项之外）代之以亚里士多德逻辑的命题表达式，我们能够用同样的方式应用这些变形于它们，犹如用于演绎理论的表达式一样。
在ＣＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ的例子中，能够容易地看出这一点来。
我们得到：ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ～ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ由Ⅰ；ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅲ；ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ，
ＣＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅳ；ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ～ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ由Ⅱ。
我们通常能够写Ｏａｂ来代替ＮＡａｂ，以Ｅａｂ代替ＮＩａｂ。
然而，应用带Ｎ的形式在今后将是更为便利的。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ所化归成的ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ与ＣＡｂａCＣＮＩａｂｐ这两个初等表达式，都有一个变项作为它们的最后的词项。
这个变项是由变形Ⅰ引入的。
我们能够用以下的演绎等值的变形消去它，其中π是一个不在α或β中出现的命题变项：Ⅷ。
ＣαＣβπ～ＣαＮβ对于Ｓ１７与Ｓ１８而言，Ⅸ。
ＣαＣＮβπ～Ｃαβ对于Ｓ１９与Ｓ２０而言。
对于变形Ⅷ的断定命题：Ｓ１７。
ＣｐＣｑＮｑＣｐＮｑＳ１８。
ＣｐＮｑＣｐＣｑｒ。
对于变形Ⅸ的断定命题：Ｓ１９。
ＣｐＣＮｑＣｐｑ
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３。三段论系统的初等表达式A ９６１
Ｓ２０。
ＣｐｑＣｐＣＮｑｒ。
当ＣαＣβπ被断定了，用Ｎβ替代π我们从它得到表达式ＣαＣβＮβ，并随后再用Ｓ１７得到ＣαＮβ；并且，反过来，用Ｓ１８从ＣαＮβ得到表达式ＣαＣβπ。
当ＣαＣβπ被排斥时，由Ｓ１８我们得到ＣＣαＮβＣαＣβπ，所以ＣαＮβ必须被排斥；并且反过来，当ＣαＮβ被排斥时，由Ｓ１７我们得到ＣＣαＣβＮβＣαＮβ，所以ＣαＣβＮβ必须被排斥，从而ＣαＣβπ也必须被排斥。
变形Ⅸ能用同样的方式加以解释。
这一点我们可以直接地应用于我们的例子。
以Ａａｂ代α，Ｉａｂ代β，以及ｐ代π；你得到ＣＡａｂ
Ｉａｂ。
用同样方式，从ＣＡｂａ
ＣＮＩａｂｐ得出ＣＡｂａＩａｂ。
如果我们有多于两个前件的表达式，例如，有几个前件，我们必须重复地应用变形Ⅶ，首先把ｎ—１个前件化为一个前件，然后再应用变形Ⅷ和Ⅸ。
例如，举以下例子：ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ，ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ由Ⅷ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ；ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ。
定理（ＴＡ）
现在充分地被证明了。
所以我们能够进行到我们的主要项目：亚里士多德三段论系统的判定的证明。
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０７１第五章 判定问题
３。三段论系统的初等表达式A根据定理（ＴＡ）
，亚里士多德三段论系统的表达式都能够用演绎地等值的方式化归为一组初等表达式，亦即具有
Ｃα１Ｃα２Ｃα３Ｃαｎ１ＣαｎC形式的表达式，其中所有的α都是三段论系统的简单表达式，亦即Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ或ＮＩａｂ，以及Ｏａｂ或ＮＡａｂ等类型的表达式。
现在，我将表明三段论系统的每一个初等表达式都是可判定的，也就是说或者被断定，或者被排斥。
我将首先证明所有简单表达式（除Ａａａ及Ｉａａ型的表达式外）都是被排斥的。
我们已经看到（第２７节，公式P６１）
Ｉａｃ是被排斥的。
这里是其它表达式的排斥的证明：P６１×P１０。
ｃｂ＇ P１０。
Ｉａｂ８×ＣP１０１－P１００（８，ＣＡａｂＩａｂ）
P１０１。
ＡａｂＩＶ。
ｐＡａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１０２＇ ＇（ＩＶ。
ＣｐＣＮｐｑ）
１０２。
ＣＮＡａⅠａｂ１０２×ＣP１０３—P１０P１０３。
ＮＡａａ（＝Ｏａ）
P１０３×P１０４。
ｂａ＇ P１０４。
ＮＡａｂ（＝Ｏａｂ）
ＩＶ。
ｐＩａ，ｑＩａｂ×Ｃ２—１０５＇１０５。
ＣＮＩａＩａｂ
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３。三段论系统的初等表达式A １７１
１０５×ＣP１０６—P１０P１０６。
ＮＩａａ（＝Ｅａ）
P１０６×P１０７ｂａ＇ P１０７ＮＩａｂ（＝Ｅａｂ）
现在转向复杂的初等表达式，我将相继地研究所有可能的情况，而省去可能的形式证明，而仅提出它们如何能得以证明的提示。
有六种情况应当加以研究。
第一种情况：后件αｎ是否定的，而所有各前件都是肯定的。
这样的表达式都是被排斥的。
证明：把在这个表达式中出现的所有变项都等同于ａ，作为同一律Ａａｕ或Ｉａ，所有前件都成为真的，而后件成为假的。
我们看出，对于这个情况的解决说来，同一律乃是根本的。
第二种情况：后件是否定的，并且只有一个前件是否定的。
这个情况可以化归为只具有肯定元素的情况，并且这样的情况，如我们随后将看到的，总是可判定的。
证明：ＣαＣＮβＮγ形式的表达式都演绎地等值于ＣαＣγβ形式的表达式（对于断定命题ＣＣｐＣＮｒＮｑＣｐＣｑｒ与ＣＣｐＣｑｒCＣｐＣＮｒＮｑ而言）
，这不仅对于一个肯定的前件α是真的，而且对于任何数量的肯定的前件都是真的。
第三种情况：后件是否定的，并且一个以上的前件是否定的。
这类表达式能化归为简单表达式，以至最终化归为第二种情况。
这个情况的解需要斯卢派斯基排斥规则。
证明：让我们假定原表达式是ＣＮαＣＮβＣγ…
Ｎｐ形式的。
因为任一前件都可以移至无论那一个位置，这个假定总是可以作出的。
我们把这个表达式相应地省去其第二个或第一个
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２７１第五章 判定问题
前件，化归为两个比较简单一些的表达式ＣＮαＣγ…
Ｎｐ与ＣＮβＣγ…
Ｎｐ。
如果这些表达式有一个以上的否定前件，我们就重复这种处理，一直到我们得出只带有唯一的否定前件的公式为止。
因为根据第二种情况，这样的公式都是演绎地等值于可判定的肯定的各表达式的，所以它们总是或者被断定或者被排斥。
只要它们之中的一个被断定了，那末原表达式也必须被断定，因为用简化定律我们可以把先前加以省略的所有其它否定前件加于这个断定的公式之上。
然而如果所有具有一个否定前件的公式都被排斥了，那么我们重复运用斯卢派斯基排斥规则，从它们得出原表达式必须被排斥。
举两个例子就可以透彻地说明问题。
第一个例子：ＣＮＡａｂＣＮＡｂｃＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ是一个断定命题。
我们把这