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率相信无限差分的乘积及其校高极方幂可以略去，共理由只是因为这些差分
与棘低的序列相对比便消失了。他们的基本命题唯有依靠这一点，即依靠一
个乘积或方幂的微分是什么的规定，因为他们的全部理论学说都归结到这一
点。其余一部分是展开＇函数或系列＇的作用，一部分别是应用；可是有较高
兴趣的、或者说唯一有兴趣的东西，却实际上是在应用那一部分里，这以后
还要加以考察。——与现在问题有关的，我们在这里只是要举出初步的东西；
关于曲线的主要命题，也同样以无足轻重为理由而被采用，曲线的原素，即
纵横座标的增量，具有次切线（Sub—tangent）和纵横座标的相互比率；为
了取得相似三角形的目的，便将弧（它与以前有理由称为特殊的三角形的两
个增量构成一个三角形而是其第三边）认为是一条直线，是切线的一部分，
从而被认为是增量之一达到了切线。①这些假定一方面使那些规定高出于有限
大小的本性，但另一方面却又对现在称为无限的瞬刻应用了只适用于有限大
小的处理办法，在这样的办法里，没有东西可以因其无足轻重而省略掉。方
法所遭受的困难，在这样的办法里，仍然很厉害。
① 兰登（John Landen，1719—1790），英国数学家，著有《数学夜思集》，1755 年，等书。——原编者注
② 参看第122 页。
③ 费尔马（Pierre de Fcrmat，1601—1665），著有《数学运算的变数》，1679 年。——原编者注
④ 巴罗（Isaac Barrow，1630—1677），剑桥大学教授，著有《几何学讲义》， 1669 年，《光学讲义》，
1674 年。——原编者注
① 意思是说：弧本是曲线，但在无限小的情况下，却被当作了直线。——译者
这里须要举出牛顿的一个值得注意的办法（《自然哲学的数学原理》，
第二卷，第七命题后面的第二补助命题），——为了消除这种情况，即在求
微分时算术上不正确地省略无限差分的乘积或其较高极的乘积，便发明了一
种很有意思的把戏。从来用的微分，便很容易推导出商数、方幂等的微分，
而他是用以下的方式找到乘积的微分的。假如x，y 每个的无限差分都小一
半，共乘积就成为xy
xdy ydx dxdy
… … ＋
2 2 4
；假如让x 和y 有同样的增加，其
乘积就成为xy
xdy ydx dxdy
＋ ＋ ＋
2 2 4
。现在再从第二个乘积减去第一个乘积，
仍然剩余下ydx＋xdy，而这是增长了整个dx 和dy 的剩余，因为这两个乘积
就是以这个增长而有区别的：所以这就是xy 的微分。——人们可以看出在这
种办法中，构成主要困难的那一项，即两个无限差分的乘积dxdy，由它本身
而消除了。但是虽然以牛顿的鼎鼎大名，也必须说这样的运算，尽管是很初
极的，却仍旧不正确；说（ ）（ ） x （ ）（ ）
dx
y
dx
x
dx
y
dx
＋ ＋ … … …
2 2 2 2
＝（x＋dx）（y
＋dy）—xy，这是不正确的。只有为流量计算重要性找理由的这种需要，才
能够使一个像牛顿那样的人自己受到这种证明的欺骗。
牛顿用来推导微分的其他形式，是与原素及其方幂的具体的，和运动有
关的意义联系着的。使用系列形式也是他的方法的特征，在这里，其涵意是
税永远能够用增添更多的项来取得所需要的精密的大小，而省略掉的项则是
相对地无足轻重的，结果一般只是一种近似；在这里，好像他也不以这种理
由为满足，正如他在解高等方程时，用近似的方法，以较高方幂（这些方幂
是在替代已有方程中每一个找到了的但仍不精密的值之时所发生的）很微小
这样粗疏的理由而将它们省略掉那样：参看拉格朗日《数字方程》第125 页。
牛顿用省略重要的高级方幂来解决问题，他所犯的这个错误，使他的反
对者有机会用他们的方法战胜他的方法，拉格朗日在近著中（《解析函数论》，
第三部分，第四章），也指出了这种错误的真正根源；这种错误证明了在使
用那种工具时，还有徒具形式的和靠不住的东西。拉格朗日指出牛顿之所以
犯错误，是因为他所略去的系列的那一项，含有一定问题关键所在的方幂。
牛顿执着于各项因其相对微小而可以省略那种形式的，肤浅的原则。大家知
道在力学中，若一运动的函数在一个系列中展开，这个系列的各项便被给与
一定的意义，于是第一项，或第一个函数，是关于速度的瞬 刻，第二个函数
是关于加速力，第三个函数是关于诸力的阻力。于是系列各项在这里被认为
不仅是一个总和的部分，而且是概念的一个整体的质的环节。因此，省略其
余属于简单无限系列的各项，与以各项相对微小为理由的省略，是具有全然
不同的意义的。①牛顿的解决，错误不在于其系列各项只被当作是一个总和的
部分，而在于没有考虑到含有问题所在的质的规定的那一项。
① 拉格朗日在应用函数论于力学，即直线运动一章中，把这两种观点以简单的方式并列起来（《解析函数
论》，第三部分，第一章，第四节）。经过的空间被看作是流过的时间的函数，这就是x＝ft 方程式，后者
作为y（t＋θ）展开时，便有：？ 于是在这段时间所经过的空固，便以的公式来表示。于是借以通过空
间的运动，可以说是由于各个部分的运动综合而成的（这就是说因为解析的展开，给了多数的，并且诚然
是无限多的项），这些运动的与时间相应的各段空间，便是等？？。当运动已知时，第一部分运动在形
式上是匀速的，有一个由ft，规定的速度，第二个是匀加速的运动，它是由一个与ft，成比例的加速的力
而来的。“其余各项现在既然不与任何简单的、已知的运动有关，所以就不须特别考虑它们；我们并且将
指明对于规定运动时间的开始之点，它们是可以抽掉的。”这一点随后便有了说明，但当然只是用一切项
对于规定在一段时间经过的空间大小都属需要的那种系列，来和第三节表示落体运动的方程x＝at＋bt 之比
较，因为那里只有这样两项。由于解析展开而产生了各项，这个方程便有了说明，只是由于假定了这种说
明，这个方程才获得它的形态；这个假定是匀加速运动由一个形式上匀速的，以在先前时间部分所达到的
速度而继续的运动，和一个被付与重力的增长（它在s＝as2 中就是a，即经验的系数）综合而成，——这
一个区别在事物本性中并不存在，也无根据，而只是对着手解析处理时所得的东西，作了错误的物理的表
现。——黑格尔原注
在这个例子里，处理办法要依赖质的意义。这里也可以连带提出一般主
张，即：假如指出原则的质的意义并使运算附属于这种意义，——而不要形
式主义地只是庄为微分起名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数
的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，——那么，原
则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发
生的系列，用它的第一项便可以完全穷尽xn 的微分。其余各项之不被考虑，
并不是由于它们的相对微小；——这里并不曾假定有不精密之处、缺点或错
误，被另一错误抵消了或改善了，——卡尔诺主要就是从这种观点来为无限
小的普通计算方法辩护的。既然所处理的不是一个总和，而是一个比率，那
么，这个微分便完全可以由第一项找到；假如需要更多的项，即便高级的微
分时，其规定也不包含作为总和的一个系列之继续，而包含人们唯一想要有
的同一比率之重复，而这个比率却在第一项中已经完备了。对一个系列及其
总和的形式上的需要，以及和它有关的东西，都必须与那种对比率的兴趣分
别开。
卡尔诺关于无限大小的方法的种种解释，最明显地揭示了它含有上面引
证的想法中的一切最为动听的东西。但是，在转到运算本身时，通常的关于
被省略之项相对于其他项说来是无限小的想法，多少又出现了。卡尔诺是用
下述事实来辩解他的方法的，那就是，计算结果是正确的，引进这种不完整
方程（他是这样称呼这些方程的——就是那些作了这种算术上不正确省略的
方程）对于简化计算具有便利：他并不是从事物自身的性质来辩解它的。
大家都知道拉格朗日为了跳