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初导数。但是这样一来，方程式各项的值便有了变化；因为再没有方程式剩
下来，只是在一变量的最初导数与其他变量的最初导救之间产生了一个比
率；代替px=y2 有了px2y；或是代替2ax…x2=y2 有了c…x：y，这就是以后常常
被称为
dy
dx
的那个比率，这方程式是一个曲线方程式，那个比率完全依靠这个
方程式，从那里（这在上面就是按照一个单纯的规则）导出的，却反而是一
个直线的比率，某些直线以此而有比例；p：2y 或a…x：y，本身是从曲线的
直线，即从座标线，参数而来的比率；但是人们从这里还是没有知道什么东
西。有兴趣的事，是要知道关于其他在曲线那里出现的直线，求出适合于它
们的那个比率，即两种比率相等。其次，问题是：由曲线本性所规定的，而
又有这样比率的直线，是什么？——但这是久已知道的东西，由那种方法所
获得的比率，就是纵座标与次切线的比率。古人曾经用聪敏的几何方法求出
这个；近代发明者所发现的东西，只是经验的办法，把曲线方程式如此安排，
以便提供已经知道的那个第一种比率，它等于那包含它所要规定的直线（这
里就是次切线）的比率。方程式的那种安排，一部分是有方法地去理解并造
成的，即取导数（Differentia… tion），一部分却是发明了想像的座标增量
以及由这两个增量与切线的一个同样想像的增量所构成的想像的特殊三角
形，于是由方程式的开方而找到的比率和纵座标与切线的比率两者的比例性
质，不仅不被表述为是经验地从旧知识得来的某种东西，而且是经过证明的
东西。但是旧知识却以上述规则的形式，一般地，极其明白地证明自身假定
是特殊三角形和那种比例性质的唯一的起因和有关的理由。
拉格朗日抛弃了这种假冒的货色，开创了真正科学的道路；理解问题所
在，须归功于他的方法，因为这种方法就在于把为了解决周题而必须作出的
两个过渡分开来，把每一方面都分别加以处理和证明。——在对过程作较详
细的说明时，我们仍然用求出次切线这样初步问题的例子。这个问题的解决，
一部分，即理论的、或一般的部分，即从已知的曲线方程式术出第一函数，
这由它本身就可以调整就绪；这一部分给了一个线的比率，即直线的比率，
这些直线出现于曲线规定的系统之中。问题解决的另一部分，是求出曲线中
有这种比率的那些直线。现在可以用直接的方式（《解析函数论》第二部分
第二章）办到这一点，即没有特殊三角形，这就是说无须假定无限小的弧和
纵横座标，也无须给它们以dx 和dy（即那种比率的两端）的规定和那个比
率立刻直接与纵座标及次切线相等的意义。一条线只有在它构成一个三角形
的边之时，它（一个点也如此）才有它的规定，正如一个点的规定也只是在
这样的三角形中那样。顺便可以提一下，这是解析几何的基本命题，它之引
人座标线就像它把力的乎行四边形引人力学中那样（这本来是同一回事），
正因此，平行四边形才完全不需要费许多气力去找证明。——现在以次切线
为一个三角形的一边，纵座标及有关的切线为三角形其他的边。切线作为直
线，其方程式便是p＝aq（加上十b 对于规定并无用处，那只是为了癖好普
遍性的缘故才添上去的）；
p
q
比率的规定便归在q 的系数a 之内，它又是方
程式的有关的第一函数，但一般只需要把它看作是a＝
p
q
，如以前所说，这
是应用于曲线被当作切线的那种直线的规定。再者，现在既然假定了曲线方
程式的第一函数，那么，它同样也是一条直线的规定；进一步说，既然假定
了第一条直线的座标线p 与曲线的纵座标y 是同一的，那么，第一条直线被
当作是切线与曲线相交的一点，也就是由曲线第一函数所规定的直接的起
点，所以应该要指出的是：这第二条直线与第一条重合，即它是切线；用代
数来表示，即因为y=fx，和p=Fq，现在说y=p 所以fx=Fq 而fa＇=Fq＇。现
在被当作切线来应用的直线，与由方程式而来并被其第一函数所规定的直
线，是重合的，所以第二条直线是切线；证明这一点将山横座标的增量i 和
被函数展开的规定的纵座标增量来帮忙。于是这里也同样出现了那个声名狼
藉的增量；但是为了方才所说的目的而引入增量，以及依增量而展开函数，
都必须与以前提到过的为求出微分方程式和为特殊三角形而使用增量，很好
地区别仆未。现在这里的使用是有理由而必要的；这种使用是在几何范围之
内，因为切线与曲线有一共同的相交之点，在这切线与曲线之间，并没有另
外的直线能够同样落在这一点上并通过其间，这是属于切线本身的几何规定
的事。于是切线或非切线的质，便以这种规定而归结到大小的区别，那条线
既是切线，绝对较大的小①便因与此有关的规定而加于这条切线之上。这种似
乎是相对的小，丝毫不包含经验的东西，即不包含依照定量本身的东西：假
如须要比较的大小是依赖于环节的区别，而环节的区别就是方冪的区别，那
么，这种小便是由公式的本性在质的方面建立起来的：由于这种区别归结于
i 和i2 而且这个i 归根到底应当意谓着是一个数，于是便须设想i 是一个分
数，而i2 本身便比i 小；这样，可以把i 当作是一个随意的大小的这种观
念，在此便是多余的，甚至用得不是地方。对较大的小的证明，因此也与无
限小毫不相干，在这里丝毫不须引用无限小。
① 较大的小，即更小，绝对较大的小，即在一定条件下，没有比它更小的，这是指上文所说的增量。——译者
对于笛卡儿的切线法，即使是仅仅为了它的美妙和它的今日已被遣忘但
却是值得享有的荣誉，我也还愿意介绍它：此外，它与方程式的本性也有关
系，关于这一点，以后在另一注释里还要谈到。笛卡儿在他的对别方面也很
有益处的几何学中（第二册，第357 页以下，全集第五卷，古冉版），讲述
了这种独立的方法，在那里，所求的直线规定，也是从同样的导出西数里找
到的，由于他在这种方法中，教授了方程式本性的伟大基础及其几何的结构，
从而在很大程度上把解析推广到一般的几何。在他那里的问题，具有课题的
形式，那就是画一条直线垂直于一条曲线的任何地点，由此而规定次切线等
等；他的发现涉及当时有普遍科学兴趣的对象，这种发现是如此其几何式的，
并由此而远远高出他的竞争者的单纯规则的方法（这种方法，前文已经提到
过）；人们可以体会他在那本书里对这种发现也踌躇满志，他说：“我敢说
这在几何学中，不仅是我所知道的，而且是我从来想要知道的最有用、最一
般的问题。”①他为解决直角三角形的解析方程式奠定了基础，这个三角形的
形成，由于：（1）曲线上一点的纵座标，而问题中所要求的直线应当在这一
点上垂直，（2）这条直线本身，即垂直线，（3）被纵座标和垂直线所切断
的轴的一部分，即次垂直线。从一条曲线的已知方程式，无论是纵座标或横
座标的值，现在都将在那个三角形的方程式中得到代替，于是便有了一个二
次方程式（笛卡儿并且指出含有较高次的方程式的那些曲线，也怎样还原为
这种二次方程式），在这个方程式中，那些变量只有一个出现，它或是平方，
或是一次方冪；——一个平方的方程式①，它起初看来像是所谓不纯的方程
式。于是笛卡儿有了这样的想法，即：假如在一条曲线上所取之点，被设想
为这条曲线与一圆相切之点，这个圆便将还在另一点与这条曲线相切，于是
对于两个由此产生而不相等的X，便将发生两个方程式，它们具有相同的常
数和相同的形式；——域者说只有一个方程式，但具有不同值的X。但是为
那一个三角形，却只有一个方程式，在那个三角形中，垂直于曲线的，是弦，
或说垂直线；被设想的是：曲线与圆相切的两点是重合的，所以曲线可以与
圆相交。但是这样一来，平方方程式的不相等的方根X 或y 的这种情况也就
消失了。但是在一个有两个相等方根的平方方程式中，未知的方根含有一次
方冪，其所含之项的系数，就是那仅仅一个方根