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1 元 8 角一打，鹅蛋 2 元 6 角一打（注：一打蛋是 12 个）。有一位顾客，身
边只带了 1 元 1 角，他能买几种蛋、几个蛋？
解答：假设可买鸡蛋 x 个，鸭蛋 y 个，鹅蛋 z 个。
有方程：1。50 x＋ 1。80y 2。60z
＋ = 1。10 ①
12 12 12
化简得：15x＋18y＋26z＝132 ②
∵132＝3×44＝4×33
∴②的解有两种形式：
（1）x＝0 y＝z＝3
（2）z＝0 x＝y＝4
由此，1 元 1 角可以买 3 个鸭蛋和 3 个鹅蛋，或者买 4 个鸡蛋和 4 个鸭
蛋。
四通八达
这里要传授给你一个秘决，只要你领会了，今后你遇到这一类问题，你
会感到四通八达、迎刃而解了。
假如你遇到这样一个问题：求 3 个整数 a、b、c，使其满足 a3＋b3＝c4，
这时，你该怎么办？
最好的办法是，等式两边同除以 c3，于是
c a 3 ＋ = c
b 3
c
a b
令A = ，B = ，则
c c
c＝A3＋B3
你可以任意设 A 和 B 两个整数，从而求得 c，进而知 a、b，问题解决了。
举例：设 A＝2，B＝3，得
c＝A3＋B3＝23＋33＝35
∵a＝cA＝70，b＝cB＝105
∴703＋1053＝354
这类问题可以推广到：
（1）a3＋b3＋c3＝R4
a3＋b3＋c3＋d3＝R4，等等。
（2）a2＋b2＝c3 a4＋b4＝c5 a5＋b5＝c6，等等
为了使你熟练这种办法，请你举一个例子能满足 a2＋b2＋c2＝d3。
解答：将等式变为d ＋ a ＋ d = d
a 2 b 2 c 2
a b c
令A = ，B = ，C =
d d d
且 A＝1，B＝2，C＝3
d＝A2＋B2＋C2＝12＋22＋32＝14
由此，a＝14，b＝28，c＝42，
∴142＋282＋422＝143
各自为政
在现代工业中要求产品标准化，因为过去各自为政的局面会带来许多麻
烦。可以举一个实例：有甲、乙、丙、丁、戊 5 个工厂生产的电线规格都不
一样，即每一盘电线的长度都不相／同。现在要从变电站 A 往居民小区 B 拉两
根供电干线。若用甲厂的产品 2 盘不够，还得搭上 1 盘乙厂的；若用乙厂的
3 盘也不够，还得搭上 1 盘丙厂的；若用丙厂的 4 盘也不够，还得搭上 1 盘
丁厂的；若用丁厂的 5 盘还不够，还得搭上 1 盘戊厂的；若用戊厂的 6 盘也
是不够，还得搭上 1 盘甲厂的。你看，不按统一的标准，有多噜嗦。请你只
好耐心一点计算一下各家工厂每盘电线的长度，以及 A、B 两地的距离是多
少？（已知每盘电线都是以整数来盘绕的，A、B 两地干线的总长度也正好是
个整数米，求最小的一组解。）
解答：设甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线每盘长 x、y、z、u、v 米，
A、B 两地所用干线的总长度为 w 米。
根据题意，列出方程组：
2x＋y＝w ①
3y＋z＝w ②
4z＋u＝w ③
5u＋v＝w ④
6v＋x＝w ⑤
这是一个不定方程组，即 5 个方程，要求 6 个未知数。
由 3×①…②，得：6x…z＝2w ⑥
由 4×⑥＋③，得：24x＋u＝9w ⑦
由 5×⑦…④，得：120x…v＝44w ⑧
由 6×⑧＋⑤，得：721x＝265w
w 可以有许多解，但最小的一组解为：x＝265，w＝721。代入①、②、③、
④，可求得：
y＝191，z＝148，u＝129，v＝76
因此，甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线规格，每盘电线分别是 265
米、191 米、148 米、129 米、76 米，A、B 两地所用的干线总长度为 721 米，
A、B 两地距离为 360．5 米。
马克思与数学
马克思是精通数学的，他在《数学手稿》中，曾提出解不定方程的例子：
有 30 个人，其中有男人、女人和小孩。他们在一家小饭馆里就餐共花费
了 50 先令；知道每个男人花 3 先令，每个女人花 2 先令，每个小孩只花 1
先令。问男人、女人和小孩各有多少？
你知道马克思是怎么算的吗？
解答：
设男人、女人、孩子分别有 x、y、z 人，列出方程：
x＋y＋z＝30 ①
3x＋2y＋z＝50 ②
由②式减①式，得
2x＋y＝20 ③
③式代入②，得
z…x＝10 ④
∵x≥0，由④式知：
z≥10 ⑤
由③式
y＝20…2x
x≤10
列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
z 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
因此这 10 组解都满足本题的要求。显然是一个典型的不定方程。
趣味几何
意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语
言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是
圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由 36 个小方格组成的正方形，如图所示，放着 4 个黑子和 4 个白子。
现在要把它分割成形状大小都相同的 4 块，并使每一块里都有一个黑子和一
个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）
但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题
要求 4 块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他 3 块都要做同样的割
开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的 1／3，
则黑子就会连成一片；如果去掉中间的 1／3，又会有两个白子连在一起。
因此只可去掉靠边上的 1／3，如图（C）。
现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将 4 条短的分割线延长到
边，就能达到目的，如图（D）。到此，图中的 6 条分割线都不能再延长，只
能沿折线分割，成为符合要求的图（E）。
节能灶
便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直
径是小蜂窝煤直径的 2 倍，3 个大蜂窝煤垒起的高度与 4 个小蜂窝煤垒起的
高度相等。
假如砌的炉灶采用 3 块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？
如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为 R，高度为 b，小蜂窝煤半径为 r，高度为 a，
则：
R＝2r，3b＝4a
大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a
∴πR2 b = π（2r）2 a 3
4
= 16 πr2 a
3
即 3πR2·b＝16πr2·a
由此可知，3 个大蜂窝煤的体积等于 16 个小蜂窝煤的体积，3∶16 也是
它们重量的关系。
由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所
以要砌放 3 块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放 16 块小蜂窝煤的炉灶，如同
图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积
应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于 16 块小蜂窝煤，燃烧
表面积之和为：
SA＝4×4×（πr2＋2πra）
＝16πr2＋32πra
3 块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB＝3×（πR2＋2πR·b）
＝3πR2＋6πRb
3
∵R = 2r；b = a
4
∴SB = 3π（2r）2 ＋ 6π（2r）43a
= 12πr2 ＋16πra
∴SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积
适中，烧得慢，省煤。
影子部队
数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因
为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它
也很自负，它说：“任何△ABC，三个内角和为 180°。”说完没有人理它，
它又说：“△ABC 若是直角三角形，那么 Rt∠C＝∠A＋∠B。”这时影子部队答
了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于△ABC 若满足下列条件：
sinC = sinA ＋ sinB
cosA ＋ cosB
则△ABC 一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC 为任意三角形，有 A＋B＋C＝180°
A ＋ B B
2sin cos A
∴右式 = 2