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则△ABC 一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC 为任意三角形，有 A＋B＋C＝180°
A ＋ B B
2sin cos A
∴右式 = 2 2
2cosA ＋ B cos A B
2 2
sin180° C cosC
= 2 = 2
cos180° C C
sin
2 2
左式 = 2sinC cosC
2 2
∴2sinC cosC = cosC
2
2 2 C
sin
2
∵cosC ≠0
2
C
∴2sin2 = 1
2
C 2
sin =
2 2
∵ = 45°
C 即 C = 90°
2
所以△ABC 为直角三角形。
巷中行
有一个小巷，本来就不宽，充其量只有 5 米，却遇上修理房屋。巷内架
起了两个梯子，一个梯子长 8 米，另一个梯子长 7 米。架起来后，行人走到
那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍
没有？
解答：设巷宽 DB＝5 米，两个梯子 AB＝8 米，CD＝7 米
令 EF＝x，FB＝x
EF DF
∵ BC DB；
=
BC = CD2 DB2 ；
DF = DB y
x 5 y
∵ = ∴
72 52 5
同理：
EF FB
=
AD DB
AD = AB2 DB2
x y
∴ =
82 52 5
由①、②式，求得：
5 y y
72 52 = 82 52
5 5
10 6 2 6y = 39y
10 6
y = = 24。5=2（米 ）
2 6 ＋ 39 12。2
又
x y
=
82 52 5
39
x = y
5
x= 6。25× 2=2。5（米）
5
由此可见，两梯子交叉点离地面约有 2．5 米高，因此并不影响行人通过。
截去多少
有三角形、平行四边形和 1／4 的圆形（或称 90°的扇形），它们高度相
等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行
四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？
解答：三角形截下部分是整体的 1／4，因为小三角形的边和高都是原来
的 1／2，其面积是原来的（1／2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即 1／2。
半弓形的面计算如下：
扇形ABC的面积 = πR2
1
6
1 R 3 3
三角形DBC的面积 = × × R = R2
2 2 2 8
半弓形 ADC 的面积＝扇形 ABC 的面积…三角形 BDC 的面积：
πR2 3 R2
6 8
扇形ABE的面积 = πR2
1
4
πR2 3
半弓形的面积 R2
= 6 8 2 3
3 2π =0。382
90°扇形的面积 πR2
4
园丁的难题
公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又
兼顾花圃外用水的方便，园丁想拉一条直的水管，使它在圆内部分的长度等
于圆外部分的长度。可是，这根水管应该怎样拉呢？
假设 AC 是符合愿望的水管，那么
CB＝BA
连接 OB、OC，并将 CO 延长与圆周交 D，连接 AD。
∵CB＝BA，OC＝OD＝r
∴OB∥DA
△COB∽△CDA
OB = CO = r
DA CD 2r
DA＝2OB＝2r
因此，只需以 A 点为圆心，2r 为半径画弧交花圃圆周于 D。连接DO 并交
圆周于 C，连接 AC 即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有唯一
解的情况，那是 A 点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于 3r。当 A 点与
圆心连线大于 3r 时，本题无解。
正方形的维纳斯
据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度
是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形 ABCD，现在作一个半圆，使它
的直径正好在正方形一边 CD 的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点 A
和 B，此时直径为 MN。那么 C 点把 DN 黄金分割，D 点把 MC 黄金分割。
因为 MN 为半圆的直径，所以
BC2＝MC·CN ①
∵ABCD 为正方形
∴BC＝DC
DC2＝MC·CN ②
由于图形的对称性，所以
MD＝CN
MC＝DC＋MD＝DC＋CN ③
由②式和③式，得
DC2＝（DC＋CN）·CN
∴CN = DC
DC DN
因此 C 为 DN 的黄金分割点，同样可以证明 D 为 MC 的黄金分割点。
丰收时节
在喜庆丰收的时候，用编好的苇席围起来做成粮囤。甲、乙、丙三人用
同样长的苇席，甲围成一个正三角形，乙围成一个等腰直角三角形，丙围成
一个圆形。那么，他们谁围的面积大？如果苇席同样高的话，谁围的粮囤存
放的粮食多？
假设苇席的长度为 1 米，正三角形边长为 a，等腰直角三边为 b，圆半径
为 r。
（1）正三角形中：
3a＝1
∴a = 1
3
a 3
S = a = 3a2
2 2 4
4 3
31 2
= = 3 =0。0481
36
（2）等腰直角三角形中：
2b＋ 2b = 1
∴b = 1
2 ＋ 2
S = b2 = 12 = 3 2 2 =0。0421
b 2（2 ＋ 2）2 4
（3）在圆中：
2πr＝1
1
∴r = 2π
S = πr2 = πr2 = π2 =
1 2 1
π 4π =0。07912
所以，在周长相等的情况下，圆的面积最大，正三角形 其次，等腰直角
三角形最小。自然，搭起的粮囤大小也是这样的次序了。
折纸的面积
一张等腰直角三角形的白纸，用 3 种折法：（1）A 点折到 B 点处，形成
一个三角形 DCB；（2）A 点折到 C 点处，形成一个梯形 EDBC；（3）A 点折到
BC 边的中点 F 点处，形成一个不规则四边形 GDBC，这 3 个图形，面积的变化
情况是怎样的呢？
（1）设等腰直角三角形ABC直角边长为a，△ABC面积为 a2，则 1
2
1 1
△DBC的面积 = △ABC的面积 = a2
2 4
（2）∵△AED的面积 = AE·ED = 2a
1 1 1 2
2 2
= a2
1
8
∴梯形EDBC的面积 = △ABC的面积 …△AED的面积
= a2 a3 = a3
1 1 3
2 8 8
（3）∵GA＝GF GA＝AC…GC
设 GC＝x GA＝GF＝a…x
GF2＝GC2＋CF2
（a x）2 = x2 ＋ 2a 1 2
a2 ＋ x2 2ax = x2 ＋ a2 1
4
1
2ax = a2 a2
4
2x = a 3
4
3
x = a
8
∴AG = a a = a
3 5
8 8
在△DFB 中，设 DF＝z，则 AD＝z
DB = 2a z BF = a
2
∵DF2＝DB2＋BF2…2DB·BF·cos45°
∴z2 = （ 2a z）2 ＋2a 2（ 2a z）
1 a 2 2
2 2
z2 = 2a2 ＋z2 2 2az＋ a2 a2 ＋
1 2
za
4 2
5a2 323
= az
4
z = 5 2
a
12
1
△AGD的面积 = ·AD·AG·cos45°
2
= 5 2 5 2
a = 192a2
25
32 12
∴四边形GDBC的面积 = △ABC的面积…△AGD的面积
= a2 =
1 25 71
=
2 192a2 192a2
如果令原△ABC面积为S0，则
1
（1）△DBC的面积 = S0
2
3
（2）梯形EDBC的面积 = S0
4
71
（3）四边形GDBC的面积 = 192S0
擀面杖的学问
你有没有细心地注意过：擀面杖为什么做成中间较粗，两头较细？你又
是否发现：擀面条的时候，为什么要两头用劲擀，而不是在中间用劲擀？
看来这是生活中的小事，但里面却有着数学的道理呢！
大家知道：擀面从数学上来讲，就是要展开成一个平面。要展开得平平
的，就一定要防止形成曲面。你看，有的人不会擀面，擀出来的面不均匀，
十分难看。
如果擀面杖是一样粗，那么由于两只手不可能在擀面杖上各个部位用的
劲儿完全一样，这就容易发生翘面现象，而且等粗的擀面杖在向前推滚的时
候，使两层面片之间接触非常紧密，以至没有相互移动的余地，容易粘住。
当擀面杖两头稍细时，假如光是中间用劲，同样也适得其反，因为中间
用劲，中间部位的平面展得大，两端展得小，面片就会像荷叶一样，从两边
向中间卷起来，这就成了一个非展开面。
只有在两头用劲擀时，使两头细的部位展开的面大一些，而中间部位由
于擀面杖本来就粗，